Question

已知函数f（x）=

ax

1+xa

（x＞0，a为常数），数列 {a_n} 满足：a₁=

1

2

，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）当a=1时，求数列{a_n} 的通项公式；
（2）在（1）的条件下，证明对?n∈N^*有：a₁a₂a₃+a₂a₃a₄+…+a_na_n+1a_n+2=

n(n+5)

12(n+2)(n+3)

．

Answer 1

分析：（1）a=1时f（x）=

x

1+x

，有a_n+1=f（a_n），得a_n+1=

an

an+1

，两边取倒数可得

1

an+1

-

1

an

=1，从而可判断数列{

1

an

 }是以1为首项，1为公差的等差数列，进而可求得

1

an

，an；
（2）由（1）表示出a_na_n+1a_n+2，拆项后利用裂项相消法可求得结果；

解答：解：（1）当a=1时，函数f（x）=

x

1+x

，
∵a_n+1=f（a_n），∴a_n+1=

an

an+1

，
两边取倒数并移项，得

1

an+1

-

1

an

=1，
又∵a₁=

1

2

，∴数列{

1

an

 }是以2为首项，1为公差的等差数列．   
∴

1

an

=2+（n-1）×1=n+1，∴an=

1

n+1

；
（2）由（1）知，an=

1

n+1

，
则a_na_n+1a_n+2=

1

(n+1)(n+2)(n+3)

=

1

2

[

1

(n+1)(n+2)

-

1

(n+2)(n+3)

]，
∴a₁a₂a₃+a₂a₃a₄+…+a_na_n+1a_n+2=

1

2

（

1

2×3

-

1

3×4

）+

1

2

（

1

3×4

-

1

4×5

）+…+

1

2

[

1

(n+1)(n+2)

-

1

(n+2)(n+3)

]
=

1

2

[

1

6

-

1

(n+2)(n+3)

]=

1

2

×

(n+2)(n+3)-6

6(n+2)(n+3)

=

n(n+5)

12(n+2)(n+3)

．

点评：本题考查由数列递推式求数列通项、数列求和，属中档题，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．