Question

本小题满分16分）设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为

（1）求的值及的表达式；

（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；

（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

⑴

⑵中的最大值为

要使对于一切的正整数恒成立，只需∴

⑶存在正整数使成立.

【解析】

试题分析：（1）据可行域，求出当x=1，x=2时，可行域中的整数点，分别求出f（1），f（2），f（n）．

（2）求出 ，据它的符号判断出Tn的单调性，求出Tn的最大值，令m大于等于最大值即可．

(3) 因为,

然后可由，得，,再分t=1和t>1两种情况进行研究即可．

⑴

当时，取值为1，2，3，…，共有个格点

当时，取值为1，2，3，…，共有个格点

∴

⑵ 

当时，

当时，

∴时，

时，

时，

∴中的最大值为

要使对于一切的正整数恒成立，只需∴

⑶

将代入，化简得，（﹡）

若时，显然

若时（﹡）式化简为不可能成立

综上，存在正整数使成立.

考点：二元一次不等式组表示平面区域，函数的数列特性，数列与函数的综合.

点评：解本小题的关键是正确作出可行域，然后得出f(n)=3n，这也是解决本小题的前提．

然后利用研究函数的单调性的方法研究数列的单调性，研究有关数列不等式恒成立问题．