Question

过抛物线y²＝2px(p＞0)上一定点P(x₀，y₀)(y₀＞0)，作两条直线分别交抛物线于A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)．

(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离．

(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)当y＝时，x＝，又抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－， 　　由抛物线定义得所求距离为－(－)＝． 　　(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB， 　　由y12＝2px1，y02＝2px0， 　　两式相减得(y1－y0)(y1＋y0)＝2p(x1－x0)． 　　故kPA＝(x1≠x0)． 　　同理kPB＝(x2≠x0)． 　　由PA与PB的倾斜角互补知kPA＋kPB＝0． 　　即＋＝0． 　　∵p＞0，∴y1＋y2＝－2y0．故＝－2． 　　设直线AB的斜率为kAB， 　　由y22－y12＝2px1－2px2，得 　　kAB＝(x1≠x2)． 　　∵y1＋y2＝－2y0， 　　∴kAB＝． 　　∵y0＞0，p＞0，∴kAB是非零常数．

提示：

本题考查抛物线定义的应用及抛物线与直线相交的问题，此类问题一般是设而不求，通过韦达定理或斜率公式结合题目其他条件综合解决问题．