Question

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x₀，2）和（x₀+3π，-2）．
（1）试求f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的

1

3

（纵坐标不变），然后再将新的图象向轴正方向平移

π

3

个单位，得到函数y=g（x）的图象．写出函数y=g（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数图象在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x₀，2）和（x₀+3π，-2）．我们易求出函数的最值及周期，进而求出A，ω值，再由图象在y轴上的截距为1，|?|＜

π

2

，将（0，1）点代入可求出φ值，即可得到f（x）的解析式；
（2）根据函数图象的周期变换及平移变换法则，结合（1）中函数的解析式，即可求出函数y=g（x）的解析式．

解答：解：（1）∵函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的图象
在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x₀，2）和（x₀+3π，-2）．
∴T=6π，即ω=

1

3

，A=2，
∴f(x)=2sin(

1

3

x+?)，
又∵函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的图象在y轴上的截距为1，
∴函数图象过（0，1），
∴sin?=

1

2

，
∵|?|＜

π

2

，
∴?=

π

6

，
∴f(x)=2sin(

x

3

+

π

6

)；
（2）∵将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的

1

3

（纵坐标不变），
然后再将新的图象向轴正方向平移

π

3

个单位，
得到函数y=g（x）的图象
∴g(x)=2sin[3•

(x- π 3 )

3

+

π

6

]
整理得：g(x)=2sin(x-

π

6

)

点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，其中根据已知求出函数的最值，周期，向左平移量，特殊点等，进而求出A，ω，φ值，得到函数的解析式是解答本题的关键．