Question

已知f(x)=

x-2m-5

x+2

，g(x)=mx-m-2，(m≠-

7

2

)
（I）讨论f（x）在区间（-2，+∞）上的单调性，并证明；
（II）若方程f（x）=g（x）至少有一个正数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）运用函数的定义判断证明函数的单调性的步骤：①取值x₁，x₂∈（-2，+∞）；②作差f（x₁）-f（x₂）变形；③定号；④下结论；
（II）由f（x）=g（x），整理得：mx²+（m-3）x+1=0，然后对m进行分类讨论，研究方程f（x）=g（x）至少有一个正数根，从而求出实数m的取值范围．

解答：解：（I）因为f(x)=1-

2m+7

x+2

，所以，当m＞-

7

2

时，
f（x）在区间（-2，+∞）上为增函数，当m＜-

7

2

时，f（x）在区间（-2，+∞）上为减函数．…（2分）
任取x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=-

2m+7

x1+2

+

2m+7

x2+2

=

(2m+7)(x1-x2)

(x1+2)(x2+2)

，
因为x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，
所以，（x₁+2）（x₂+2）＞0，且x₁-x₂＜0，当m＞-

7

2

时，有f（x₁）-f（x₁）＜0，f（x）在区间（-2，+∞）上为增函数；
当m＜-

7

2

时，有f（x₁）-f（x₁）＞0，f（x）在区间（-2，+∞）上为减函数．…（5分）
（II）f（x）=g（x）?x-2m-5=mx²+（m-2）x-2m-4
整理得：mx²+（m-3）x+1=0，…（5分），
令h（x）=mx²+（m-3）x+1
当m=0时，x=

1

3

，符合题设；…（6分）
当m＜0时，必有△＞0，且x1x2=

1

m

＜0，h（-2）=2m+7≠0，符合题设；…（7分）
当m＞0时，因为x1x2=

1

m

＞0，所以，方程的两根必须都是正根，有：

△=(m-3)2-4m≥0 x1+x2= 3-m m ＞0

，
解得：0＜m≤1，
综上所述，m≤1且m≠-

7

2

．…（10分）

点评：本题主要考查函数单调性的应用．运用函数的定义判断证明函数的单调性的步骤：（1）取值；（2）作差变形；（3）定号；（4）下结论．取值时，必须注意定义中的x₁、x₂具有的三个特征；变形时，一定要分解完全，对于抽象函数问题注意合理的利用条件等．