Question

已知P(5，

2

3

π)，O为极点，则使△POP′是正三角形的P′点的极坐标______．（规定ρ≥0，0≤θ＜2π）

Answer 1

P的直角坐标为 （5cos

2π

3

，5sin

2π

3

 ），即 （

-5

2

，

5 3

2

 ）．当△POP′是正三角形时，
设P（m，n ），则∠POP′=60°，OP=OP′=

25 4 + 75 4

=5．  故有
tan60°=

3

=|

n m -(- 3)

1+ n m •(- 3 )

|   ①，且

m2+ n2

=5  ②．
由①②解得  m=-5 且n=0，或  m=

5

2

，n=

5 3

2

，即P（-5，0），或 P（ 

5

2

，

5 3

2

），
根据ρ=

m2+n2

 和 tanθ=

n

m

，求得P′的极坐标（ρ，θ ）．
故P′点的极坐标为(5，π)或(5，

π

3

)，
故答案为 (5，π)或(5，

π

3

)．