Question

四面体的一条棱长为x，其余棱长均为1，体积为f（x），则函数y=f（x）在其定义域上（　　）

• A、是增函数但无最大值
• B、是增函数且有最大值
• C、不是增函数且无最大值
• D、不是增函数但有最大值

Answer 1

分析：由题意画出三棱锥的图形，取BC，AD的中点分别为E，F，求出AED的面积，然后求出棱锥的体积．

解答：解：由题意画出棱锥的图形，AB=BC=CD=BD=AC=1，AD=x；
取BC，AD的中点分别为E，F，
可知平面AED垂直BC，S_△AED=

1

2

AD•EF
EF=

( 3 2 )2-( x 2 )2

所以 V(x)=

1

3

•S△AED•BC=

1

12

x

3-x2

由于V(x)=

1

12

x

3-x2

≤

1

12

×

x 2+3-x2

2

=

1

8

故函数y=f（x）在其定义域不是增函数但有最大值

1

8

．
故选D．

点评：本题是基础题，考查空间想象能力，计算能力，本题的关键是棱锥的转化为两个棱锥，底面AED的处理是解题的关键．