Question

设函数f（x）=ax²+bx+1（a，b∈R），当f（-1）=0时，f（x）≥0恒成立．
（1）求f（x）的表达式．
（2）当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（-1）=0可得a与b的关系，再由f（x）≥0恒成立得a与b的另一关系，联立求解即可．
（2）g（x）为二次函数，二次函数的单调性问题只要考虑其对称轴即可．g（x）的对称轴为x=

k-2

2

，只要

k-2

2

≤- 2或

k-2

2

≥2

解答：解：（1）当f（-1）=0，即a-b+1=0，即b=a+1时，
f（x）=ax²+（a+1）x+1≥0恒成立．
若a=0，则f（x）=x+1≥0不能恒成立．
若a≠0，则

a＞0 △=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0

，所以a=1，b=2
∴f（x）=x²+2x+1
（2）g（x）=f（x）-kx=x²-（k-2）x+1在[-2，2]上单调，
则

k-2

2

≤- 2或

k-2

2

≥2
∴k≤-2或k≥6

点评：本题考查待定系数法求解析式、二次函数的单调性及二次不等式恒成立问题，难度一般．