Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，AB是⊙0的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．
（1）求证：FG∥AC；
（2）若CG=1，CD=4，求

DE

GF

的值．

Answer 1

分析：（1）根据切割线定理证出AB²=AD•AE，所以AC²=AD•AE，证出

AD

AC

=

AC

AE

，结合∠EAC=∠DAC得到△ADC∽△ACE，所以∠ADC=∠ACE．再根据圆内接四边形的性质得∠ADC=∠EGF，从而∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．
（2）根据圆内接四边形的性质，证出∠CGF=∠CDE且∠CFG=∠CED，可得△CGF∽△CDE，因此

DE

GF

=

CD

CG

=4．

解答：解：（1）∵AB与⊙O的相切于点B，ADE是⊙O的割线，
∴AB²=AD•AE，
∵AB=AC，∴AC²=AD•AE，可得

AD

AC

=

AC

AE

又∵∠EAC=∠DAC，
∴△ADC∽△ACE，可得∠ADC=∠ACE，
∵四边形DEGF内接于⊙O，∴∠ADC=∠EGF，
因此∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．
（2）∵四边形DEGF内接于⊙O，
∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．
因此△CGF∽△CDE，可得

DE

GF

=

CD

CG

，
又∵CG=1，CD=4，∴

DE

GF

=4．

点评：本题给出圆的切线与割线，求证直线互相平行，并求线段的比值．着重考查了切割线定理、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，属于中档题．