Question

已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x-4|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）不等式f（x）-g（x）≥m+1的解集为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）不等式f（x）＞2，
即|2x+1|＞2可化为：
2x+1＜-2，或2x+1＞2
解得x＜-

3

2

，或x＞

1

2

∴原不等式的解集为（-∞，-

3

2

）∪（

1

2

，+∞）
（2）∵f（x）-g（x）=|2x+1|-|x-4|=

-x-5，x＜- 1 2 3x-3，- 1 2 ≤x≤4 x+5，x＞4

∵当x∈（-∞，-

1

2

）时，函数为减函数，当x∈（-

1

2

，+∞）时，函数为增函数，
∴当x=-

1

2

时，函数f（x）-g（x）取最小值-

9

2

若不等式f（x）-g（x）≥m+1的解集为R，
则-

9

2

≥m+1
即m≤-

11

2

故实数m的取值范围为（-∞，-

11

2

]