Question

如图，有两条相交直线l₁，l₂成60°角，交于点O，甲乙两人分别在l₁，l₂上．起初甲离O点3千米，乙离O点1千米；后来甲乙两人分别沿着箭头所示方向前进，同时用4千米/时的速度步行．
（1）经过多少小时，两人的距离最短？
（2）若两人为了保持通讯，两人之间的距离不能超过2

3

千米，那么他们两人在行进中能保持通讯的时间为多少小时？

Answer 1

分析：（1）设运动的时间是t小时，两点运动的路程为4tkm，表示出此时的OA和OB，再由cos∠AOB的值，利用余弦定理表示出AB的长，根据t的范围，利用二次函数的性质即可求出两人距离最短时的时间t的值．
（2）由（1）值，再开始到0.25小时内两人之间的距离不能超过2

3

千米，之后则不满足题意，故得解．

解答：解：由题意，（1）当0≤t＜0.25 时，A在O的右边，则t小时走的路为4t，OA=3-4t，OB=1-4t，
根据余弦定理得：AB=

16t2-16t+7

，且0≤t≤0.25，则t=0.25时，AB最小为

2

0.25≤t＜0.75 时，A在O的右边，则t小时走的路为4t，OA=3-4t，OB=1+4t，
根据余弦定理得：AB=

16t2-8t+13

，0.25≤t＜0.75，则t=0.25时，AB最小为

2

．
0.75≤t时，OA=3+4t，OB=1+4t，
根据余弦定理得：AB=

16t2+16t+7

，且0.75≤t，则t=0.75时，AB最小为2

7

∴当t=

1

4

小时，两人的距离最短，最短距离为

2

．
（2）开始OA=3km，OB=1km，∠AOB=60°，
根据余弦定理得：AB²=OA²+OB²-2OA•OB•cos∠AOB=9+1-3=7，
解得：AB=

7

（km）；
又AB=

16t2-8t+13

≤2

3

时，t=

1

4

小时
故可知他们两人在行进中能保持通讯的时间为

1

4

小时

点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查余弦定理的运用，有一定的综合性．