题目内容

已知函数 $数学公式$ （a是常数）．
（1）若常数a＜2且a≠0，求f（x）的定义域；
（2）若常数0＜a＜2，且知f（x）在区间（2，4）上是增函数，试求a的取值范围．

解：（1）由 $\text{[math]}$ 可知，
①当a＜0时，
解 $\text{[math]}$ 得：
x＜ $\text{[math]}$ ，或x＞1
∴函数的定义域为 $\text{[math]}$ ；
②当0＜a＜2时，
解 $\text{[math]}$ 得：
1＜x＜ $\text{[math]}$ ，
∴函数的定义域为 $\text{[math]}$ ．
（2）令 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ 减函数，
∴ $\text{[math]}$ 在（2，4）上是减函数，
则： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
故a的取值范围为（0， $\text{[math]}$ ]
分析：（1）根据对数函数的性质，我们根据对数函数的真数部分大于0，可以构造分式不等式 $\text{[math]}$ ，进而根据常数a＜2且a≠0，及分式不等式的解法，分a＜0时和0＜a＜2时两种情况分类讨论，即可得到答案；
（2）由已知中f（x）在区间（2，4）上是增函数，根据复合函数单调性的确定原则，我们易判断出 $\text{[math]}$ 在（2，4）上是减函数，结合（1）中结论，我们易构造出关于a的不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围．
点评：本题考查的知识点是对数函数的定义域，分式不等式的解法，函数单调性的判断与证明，对数函数的单调性，其中（1）的关键是根据对数函数的真数部分大于0，构造分式不等式 $\text{[math]}$ ，（2）的关键是根据复合函数单调性的确定原则，得到 $\text{[math]}$ 在（2，4）上是减函数，进而构造出关于a的不等式组．本题（2）易忽略对数的真数大于0的同，而错解为0＜a＜2．