Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，S_n-S_n-1=2S_nS_n-1（n≥2）．
（1）数列{

1

Sn

}是否为等差数列？请证明你的结论；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）将已知等式S_n-S_n-1=2S_nS_n-1的两边同除以S_nS_n-1，利用等差数列的定义证得{

1

Sn

}为等差数列．
（2）利用等差数列的通项公式求出

1

Sn

，再将它取倒数即得到数列{a_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）∵S_n-S_n-1=2S_nS_n-1
∴

1

Sn-1

-

1

Sn

=2即

1

Sn

-

1

Sn-1

=-2（常数）
∴{

1

Sn

}为等差数列         
（2）∵

1

Sn

=

1

S1

+(n-1)(-2)=1-2n+2=-2n+3
∴Sn=

1

-2n+3

．

点评：求数列的前n项和，应该先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法：常用的求和方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组法．