Question

设函数f（x）的定义域为D，值域为B，如果存在函数x=g（t），使得函数y=f（g（t））的值域仍然为B，那么，称函数x=g（t）是函数f（x）的一个等值域变换．
（Ⅰ）判断下列x=g（t）是不是f（x）的一个等值域变换？说明你的理由：
①f（x）=2x+1，x∈R，x=g（t）=t²-2t+3，t∈R；
②f（x）=x²-x+c，x∈R，c是常数，x=g（t）=2^t，t∈R；
（Ⅱ）设f(x)=log2x(x∈R+)，x=g（t）=at²+2t+1，若x=g（t）是函数f（x）的一个等值域变换，求实数a的取值范围，并写出x=g（t）的一个定义域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用新定义判定①、②中的函数是否为一个等值域变换．
（Ⅱ）由f(g(t))=log2(at2+2t+1)是一个等值域变换，讨论a的值，使f（g（t））、f（x）值域相等，从而求出a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）①∵t∈R，∴x=g（t）=t²-2t+3=（t-1）²+2∈[2，+∞）；
∴f（g（t））=2g（t）+1∈[5，+∞）；
又x∈R时，f（x）=2x+1∈R，
∴x=g（t）不是f（x）的一个等值域变换．
②∵t∈R，∴x=g（t）=2^t∈（0，+∞）；
又f(x)=x2-x+c=(x-

1

2

)2+c-

1

4

，
∴x∈R时f(x)∈[c-

1

4

，+∞)；g（t）∈（0，+∞）时f(g(t))∈[c-

1

4

，+∞)；
∴x=g（t）=2^t是f（x）=x²-x+c的一个等值域变换．
（Ⅱ）∵f(g(t))=log2(at2+2t+1)，
当a=0时，f（g（t））=log₂（2t+1），定义域为(-

1

2

，+∞)，值域为R；
此时x=g（t）是f（x）的一个等值域变换；
当a≠0时，

a＞0 △≤0

，解得0＜a≤1，又由x=at²+2t+1＞0得f（g（t））定义域为(-∞，

-1- 1-a

a

)∪(

-1+ 1-a

a

，+∞)，值域为R；
此时x=g（t）是f（x）的一个等值域变换；
综上当x=g（t）是f（x）的一个等值域变换时，实数a的取值范围为[0，1]；
当a=0时，f（g（t））定义域为(-

1

2

，+∞)，
当0＜a≤1时，f（g（t））定义域为(-∞，

-1- 1-a

a

)∪(

-1+ 1-a

a

，+∞)．

点评：本题考查了新定义下的一次函数与二次函数的定义域值域问题，是中档题中的易错题．