Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a=8，b=10，△ABC的面积为20

3

，则△ABC中最大角的正切值是

5 3

3

或-

3

．

Answer 1

分析：利用三角形的面积公式S=

1

2

absinC表示出三角形ABC的面积，把a，b及已知的面积代入求出sinC的值，分两种情况考虑：当C为最大角时，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，进而确定出tanC的值，即为三角形中最大角的正切值；当C不为最大角时，根据a小于b得到B为最大角，求出C的度数，利用余弦定理得到c²=a²+b²-2abcosC，把a，b及cosC的值代入求出c的长，再由sinB及b的值，利用正弦定理求出sinC的值，同时利用余弦定理表示出cosC，把a，b及c的值代入求出cosC的值，进而确定出tanC的值，即为最大角的正切值，综上，得到所求三角形中最大角的正切值．

解答：解：∵a=8，b=10，△ABC的面积为20

3

，
∴S=

1

2

absinC=40sinC=20

3

，
∴sinC=

3

2

，
若C为最大角，∠C=120°，此时tanC=-

3

；
若C不为最大角，∠C=60°，又a＜b，∴B为最大角，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=64+100-80=84，
∴c=2

21

，
再由正弦定理

c

sinC

=

b

sinB

得：
sinB=

bsinC

c

=

10× 3 2

2 21

=

5 7

14

，
又cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

64+84-100

32 21

=

21

14

，
∴tanB=

5 3

3

，
综上，△ABC中最大角的正切值为

5 3

3

或-

3

．
故答案为：

5 3

3

或-

3

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数间的基本关系，三角形的边角关系，以及特殊角的三角函数值，利用了分类讨论的数学思想，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．