Question

已知函数f(x)=

a

3

x3-

1

2

x2-x(a≥0)在区间（0，1）上不是单调函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（0，2）
• B、[0，1）
• C、（0，+∞）
• D、（2，+∞）

Answer 1

分析：先对函数f（x）求导，根据函数f(x)=

a

3

x3-

1

2

x2-x(a≥0)在区间（0，1）上不是单调函数，故f'（x）=ax²-x-1=0在区间（0，1）上有正有负，即函数f'（x）=0有解，从而得到答案．

解答：解：∵f(x)=

a

3

x3-

1

2

x2-x
∴f'（x）=ax²-x-1
∵函数f(x)=

a

3

x3-

1

2

x2-x(a≥0)在区间（0，1）上不是单调函数
∴f'（x）=ax²-x-1=0在区间（0，1）上有根
∴当a=0时，x=-1不满足条件
当a＞0时，∵f'（0）=-1＜0，
∴f'（1）=a-2＞0，
∴a＞2
故选D．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．