题目内容

若函数y=f（x）对于任意的x，y∈N*都有f（x+y）=f（x）•f（y）且f（1）=2，则 $数学公式$ =________．

4012
分析：根据题意可求f（2）=2²，f（3）=2³，…f（n）=2ⁿ，代入即可．
解答：∵对于任意的x，y∈N*都有f（x+y）=f（x）•f（y）且f（1）=2，
∴f（1+1）=f（1）•f（1）=2²，即f（2）=2²，
同理可得f（3）=2³，…f（n）=2ⁿ，
∴ $\text{[math]}$ =2+2+…+2=2×2006=4012．
故答案为：4012．
点评：本题考查数列的求和，关键是根据条件求得f（n）=2ⁿ，属于容易题．

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下列命题：
①G²=ab是三个数a、G、b成等比数列的充要条件；
②若函数y=f（x）对任意实数x都满足f（x+2）=-f（x），则f（x）是周期函数；
③对于命题p：?x∈R，2x+3＞0，则?p：?x∈R，2x+3＜0；
④直线

(x+y)+1+a=0与圆C：x²+y²=a（a＞0）相离．
其中不正确命题的序号为

（把你认为不正确的命题序号都填上）．

若函数y=f（x）对定义域D的每一个x₁，都存在唯一的x₂∈D，使f（x₁）f（x₂）=1成立，则称f（x）为“自倒函数”，下列命题正确的是

（1），（3）

（1），（3）

．（把你认为正确命题的序号都填上）
（1）f（x）=sinx+

]）是自倒函数；
（2）自倒函数f（x）的值域可以是R
（3）自倒函数f（x）可以是奇函数
（4）若y=f（x），y=g（x）都是自倒函数，且定义域相同，则y=f（x）g（x）是自倒函数．

若函数y=f（x）对定义域的每一个值x₁，都存在唯一的x₂，使y=f（x₁）f（x₂）=1成立，则称此函数为“滨湖函数”．下列命题正确的是

．（把你认为正确的序号都填上）
①y=

是“滨湖函数”；
②y=

]）I是“滨湖函数”；
③y=2^x是“滨湖函数”；
④y=lnx是“滨湖函数”；
⑤y=f（x），y=g（x）都是“滨湖函数”，且定义域相同，则y=f（x）g（x）是“滨湖函数”

若函数y=f（x）对任意的x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，恒有f（x）＜0
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）判断函数f（x）的单调性并证明；
（3）若f（2）=1，解不等式f（-x²）+2f（x）+4＜0．

已知函数y=f（x）是定义在R上的函数．
（1）若函数y=f（x）满足：f（xy）=f（x）+f（y），f(

)=1，
①求f（1），f(

)的值，
②若函数y=f（x）是定义域为R⁺的减函数，且f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．
（2）若函数y=f（x）对一切x∈R满足f（x+2）=-f（x），求证：f（x）是周期函数；
（3）若函数y=f（x）对一切x、y∈R满足f（x+y）=f（x）+f（y），求证：f（x）是奇函数．