Question

【题目】已知函数，其中为常数.

（1）当，且时，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值点；若不存在，说明理由；

（2）若，对任意的正整数，当时，求证：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析

【解析】试题分析; （1）令 ，求出 的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可；
（Ⅱ） 时，求 的导数，通过讨论 是奇数，偶数，结合函数的单调性证明结论即可．

试题解析：（1）由已知得函数的定义域为，

当时，，所以，

当时，由得，此时

当时，单调递减；当时，单调递增.

当时，在处取得极小值，极小值点为.

（2）证：因为，所以.

当为偶数时，令，则

∴所以当时，单调递增，的最小值为.因此

所以成立.

当为奇数时，要证，由于，所以只需证.

令，则，

当时，单调递增，又，

所以当时，恒有,命题成立.