Question

已知函数f（x）=e^x（ax+b）-x²-4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=4x+4．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的极大值．

Answer 1

分析：（I）f′（x）=e^x（ax+a+b）-2x-4，由于曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=4x+4，可得

f′(0)=(a+b)-4=4 f(0)=b=4

，解得即可．
（II）由（I）可知：f（x）=4e^x（x+1）-x²-4x，f′（x）=4e^x（x+2）-2x-4=4(x+2)(ex-

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)．分别由f′（x）＞0；由f′（x）＜0解得函数f（x）单调区间．进而得到函数的极大值．

解答：解：（I）f′（x）=e^x（ax+a+b）-2x-4，
∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=4x+4，
∴

f′(0)=(a+b)-4=4 f(0)=b=4

，解得a=b=4．
（II）由（I）可知：f（x）=4e^x（x+1）-x²-4x，f′（x）=4e^x（x+2）-2x-4=4(x+2)(ex-

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)．
由f′（x）＞0解得x＜-2，x＞-ln2，此时函数f（x）单调递增；
由f′（x）＜0解得-2＜x＜-ln2，此时函数f（x）单调递减．
故当x=-2时，函数f（x）取得极大值，f（-2）=4（1-e^-2）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、切线方程等基础知识与基本技能方法，属于中档题．