Question

(理)如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,点M、N分别在棱PD、PC上，且,PM=MD.

(1)求证:PC⊥AM;

(2)求证:PC⊥平面AMN;

(3)求二面角BANM的大小.

(文)如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2,

点M、N分别在侧棱PD、PC上，且PM=MD.

(1)求证:AM⊥平面PCD;

(2)若，求平面AMN与平面PAB所成锐二面角的大小.

Answer 1

答案：(理)解:(1)证明:∵四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,故建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz.又PA=AD=2,则有P(0,0,2),D(0,2,0).∴M(0,1,1),C(2,2,0).

∴=(2,2,-2),=(0,1,1).∵=0+2-2=0,∴PC⊥AM.

(2)证明:设N(x,y,z),∵,则有x-0=(2-x),∴x=.同理可得y=,z=,

即N(,,).

由=+=0,∴PC⊥AN.又∵PC⊥AM,AM∩AN=A,∴PC⊥平面AMN.1分

(3)设平面BAN的法向量为n=(x,y,z).由取n=(0,-2,1).

而=(2,2,-2)为平面AMN的法向量,

∴cos〈n,〉==.

结合图形可知，所求二面角BANM的大小为π-arccos.

(文)解：(1)∵四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,则CD⊥侧面PAD.∴CD⊥AM.又PA=AD=2,∴AM⊥PD.又PD∩CD=D,∴AM⊥平面PCD.5分

(2)建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz,又PA=AD=2,

则有P(0,0,2),D(0,2,0).∴M(0,1,1),C(2,2,0).∴=(2,2,-2).设N(x,y,z),∵=,则有x-0=(2-x),∴x=.同理可得y=,z=,即得N(,,).

由·=+=0,∴PC⊥AN.∴平面AMN的法向量为=(2,2,-2).而平面PAB的法向量为=(0,2,0),∴cos〈〉=.故所求平面AMN与PAB所成锐二面角的大小为arccos.