Question

【题目】已知椭圆 C:离心率，短轴长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：

（1）由题意可得，结合离心率可得，则椭圆方程为.

（2）设，结合直线方程可得，则以MN为直径的圆的方程为，点P,Q在椭圆上，则，据此计算可得圆恒过定点.

试题解析：

（1）由短轴长为，得，由，得．

∴椭圆的标准方程为．

（2）以为直径的圆过定点．

证明如下：设，则，且，即，

∵，∴直线方程为：，则

直线方程为：，则，

以为直径的圆为

即，

其中，，

令，则，解得.∴以为直径的圆过定点．