题目内容
已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx。
（1）若函数f（x）过点（-1，2）且在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0，求函数f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，若对于区间[-3，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）-f（x2）|≤t，求实数t的最小值；
（3）当-1≤x≤1时，|f′（x）|≤1，试求a的最大值，并求a取得最大值时f（x）的表达式。
（1）若函数f（x）过点（-1，2）且在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0，求函数f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，若对于区间[-3，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）-f（x2）|≤t，求实数t的最小值；
（3）当-1≤x≤1时，|f′（x）|≤1，试求a的最大值，并求a取得最大值时f（x）的表达式。
解：（1）∵函数f（x）过点
∴
①
又
，函数
在点
处的切线方程为
∴
∴
②
由①和②解得
，
，
故
；
（2）由（1）
，令
解得
∴
，
，
，
∴在区间
上
，
∴对于区间
上任意两个自变量的值
∴
从而t的最小值为20；
（3）∵
则
可得
∵当
时，
∴
，
，
∴
∴
，故a的最大值为
当
时，
解得
，
∴a取得最大值时
。
∴
①又
，函数
在点
处的切线方程为
∴
∴
②由①和②解得
，
，
故
；（2）由（1）
，令
解得
∴
，
，
，
∴在区间
上
，
∴对于区间
上任意两个自变量的值
∴
从而t的最小值为20；
（3）∵
则
可得
∵当
时，
∴
，
，
∴
∴
，故a的最大值为
当
时，
解得
，
∴a取得最大值时
。
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