Question

已知三次函数f（x）=ax³+bx²+cx。
（1）若函数f（x）过点（-1，2）且在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0，求函数f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，若对于区间[-3，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，求实数t的最小值；
（3）当-1≤x≤1时，|f′（x）|≤1，试求a的最大值，并求a取得最大值时f（x）的表达式。

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）过点
∴ ①
又，函数在点处的切线方程为
∴
∴ ②
由①和②解得，，
故；
（2）由（1），令
解得
∴，，，
∴在区间上，
∴对于区间上任意两个自变量的值

∴
从而t的最小值为20；
（3）∵
则
可得
∵当时，
∴，，
∴
∴，故a的最大值为
当时，解得，
∴a取得最大值时。