Question

如图，直线AB与椭圆：（a＞b＞0）交于A，B两点，与x轴和y轴分别交于点P和点Q，点C是点A关于x轴的对称点，直线BC与x轴交于点R．
（1）若点P为（6，0），点Q为（0，3），点A，B恰好是线段QP的两个三等分点．
①求椭圆的方程；
②过坐标原点O引△ABC外接圆的切线，求切线长；
（2）当椭圆给定时，试探究OP•OR是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）①利用，点B为A、P中点，可得点A、B的坐标，代入椭圆方程，求得几何量，从而可求椭圆的方程；
②确定线段AB的中垂线方程，求得△ABC外接圆的圆心与半径，从而可求切线长；
（2）确定直线BC的方程，求得R的坐标，同理可求P的坐标，表示出OP•OQ，利用P、Q再椭圆上，即可求得结论．
解答：解：（1）①设点A（x，y），由题意知，则有（6，-3）=3（x，y-3），
解得x=2，y=2，即A（2，2），又点B为A、P中点，可得点B（4，1）…（2分）
∴，解得：a²=20，b²=5，∴椭圆的方程为…（5分）
②由点A（2，2），B（4，1）可求得线段AB的中垂线方程为y=2x-，令y=0，得x=．
设△ABC外接圆的圆心为M，半径为r，可知M（，0），r=AM=…（7分）
∴切线长为…（9分）
（2）设点B（x，y），A（x₁，y₁），则C（x₁，-y₁）．
所以直线BC的方程为y-y=（x-x），
令y=0，得，即点R（，0），
同理P（，0）…（13分）
∴OP•OQ=||||=，
又∵，∴①×-②×，两式相减得，
即，
∴当椭圆给定时，OP•OR为定值a²…（16分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查点差法的运用，属于中档题．