题目内容

如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2，M为AD中点．
（Ⅰ）证明MF⊥BD；
（Ⅱ）若二面角A-BF-D的平面角的余弦值为 $数学公式$ ，求AB的长．

（Ⅰ）证明：∵ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2，
∴△ADF为正三角形
∵M为AD中点，∴MF⊥AD
∵平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD，
∴MF⊥平面ABCD
∴MF⊥BD；
（Ⅱ）设AB=x．取AF的中点G．

由题意得DG⊥AF．
∵平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADEF，∴AB⊥DG．
∴DG⊥平面ABF．
过G作GH⊥BF，垂足为H，连接DH，则DH⊥BF，∴∠DHG为二面角A-BF-D的平面角．
在直角△AGD中，AD=2，AG=1，得DG= $\text{[math]}$
在直角△BAF中，由 $\text{[math]}$ =sin∠AFB= $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
在直角△DGH中，DG= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，∴DH=2 $\text{[math]}$
∵cos∠DHG= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴x= $\text{[math]}$ ，∴AB= $\text{[math]}$
分析：（Ⅰ）证明MF⊥平面ABCD，即可得到结论；
（II）取AF的中点G，过G作GH⊥BF，垂足为H，连接DH，可证得∠DHG为二面角A-BF-D的平面角，解三角形DGH可得答案．
点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查学生的计算能力，正确作出面面角是关键．