Question

已知等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，前n项和为S_n，{b_n}是等比数列，b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）求证：都成立．

Answer 1

解：（1）设{a_n}的公差为d（d＞0），{b_n}的公比为q，
则
解得（舍）
所以a_n=3+2（n-1）=2n+1，n∈N^*，
b_n=8^n-1，n∈N^*．
（2）因为S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）
所以=
=
=．
故都成立．
分析：（1）因为数列{a_n}为等差数列，所以只要求出首项与公差，就可以求出通项公式，同样，因为数列{a_n}为等比数列，所以只要求出首项与公比，就可以求出通项公式，然后根据a₁=3，前n项和为S_n，{b_n}是等比数列，b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．寻找含a1，d，b1，q的关系式，求出a1，d，b1，q即可．
（2）由（1）中所求数列{a_n}的首项与公差，代入等差数列的前n项和公式，求出S_n，再计算，最后用放缩法即可证明．
点评：本题考查了等差等比数列通项公式的求法，以及放缩法比较大小．