Question

 [2012·三明普通高中联考] 如图G8－5，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1.

(1)求证：AB∥平面PCD；

(2)求证：BC⊥平面PAC；

(3)若M是PC的中点，求三棱锥M－ACD的体积．

图G8－5

Answer 1

解：(1)由已知底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，

又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，

∴AB∥平面PCD.

(2)在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，

则四边形ADCE为矩形，∴AE＝DC＝1，

又AB＝2，∴BE＝1，

在Rt△BEC中，∠ABC＝45°，∴CE＝BE＝1，CB＝，

则AC＝＝，∴AC²＋BC² ＝ AB²，

∴BC⊥AC，

又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，

又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，

(3)∵M是PC的中点，

∴M到平面ADC的距离是P到面ADC距离的一半．

V_{M －ACD}＝S_△ACD·＝××＝.