Question

将和式的极限

lim

n→m

1p+2p+3p+…+np

np+1

（p＞0）表示成定积分（　　）

• A．

  ∫

  1 0

  1

  x

  dx
• B．

  ∫

  1 0

  x^pdx
• C．

  ∫

  1 0

  (

  1

  x

  )pdx
• D．

  ∫

  1 0

  (

  x

  n

  )Pdx

Answer 1

分析：利用积分的定义，可得

∫

1 0

x^pdx=

lim

n→+∞

n

i=1

（ξ_i）^p△x_i=

lim

n→+∞

n

i=1

（

i

n

）^p×

1

n

=

lim

n→+∞

1p+2p+3p+…+np

np+1

，由此可得结论．

解答：解：取积分区间[0，1]，并分成n等分[x_i-1，x_i]，每份为△x_i=

1

n

，令

1

n

→0，相当于n趋向无穷大，然后取ξ_i=

i

n

∴n→+∞时，

1

n

→0，

n

i=1

（ξ_i）^p△x_i→

n

i=1

（

i

n

）^p×

1

n

∴

∫

1 0

x^pdx=

lim

n→+∞

n

i=1

（ξ_i）^p△x_i=

lim

n→+∞

n

i=1

（

i

n

）^p×

1

n

=

lim

n→+∞

1p+2p+3p+…+np

np+1

故选B．

点评：本题考查定积分的定义，考查定积分的计算，考查数列的极限，属于中档题．