Question

（2012•厦门模拟）将y=lnx的图象绕坐标原点O逆时针旋转角θ后第一次与y轴相切，则角θ满足的条件是（　　）

A．esinθ=cosθ

B．sinθ=ecosθ

C．esinθ=l

D．ecosθ=1

Answer 1

分析：设y=lnx的图象的切线的斜率为k，切点坐标为（x₀，y₀），由题意可得 k=

lnx0

x0

=

1

x0

，求得x₀=e．再由tanθ=

sinθ

cosθ

=

1

k

=x₀=e，得出结论．

解答：解：设y=f（x）=lnx的图象的切线的斜率为k，设切点坐标为（x₀，y₀），
则由题意可得，切线的斜率为 k=

y0

x0

=

lnx0

x0

，再由导数的几何意义可得 k=f′（x₀）=

1

x0

，
∴

lnx0

x0

=

1

x0

，∴x₀=e．
再由θ的意义可得，tanθ=

sinθ

cosθ

=

1

k

=x₀=e，∴sinθ=ecosθ，
故选B．

点评：本题主要考查函数的导数的意义及其应用，直线的斜率公式，函数图象的变化，属于基础题．