Question

已知圆C：x²+y²+Dx+Ey+3=0关于直线x+y-1=0对称，圆心C在第二象限，半径为

2

．
（1）求圆C的方程；
（2）是否存在直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意，求得圆心C（-

D

2

，-

E

2

）在x+y-1=0上，且半径r=

1

2

D2+E2-12

=

2

．联解得D、E的值，即可得到圆C的标准方程；
（2）按直线l经过原点、不经过原点两种情况加以讨论，分别设出直线l的方程，根据点到直线的距离公式建立关于参数k、m的等式，解之即可得到满足条件的直线l方程．

解答：解：（1）将圆C化成标准方程，得（x+

D

2

）²+（y+

E

2

）²=

1

4

（D²+E²-12）
∴圆C的圆心坐标为（-

D

2

，-

E

2

），半径r=

1

2

D2+E2-12

∵圆C关于直线x+y-1=0对称，半径为

2

．
∴-

D

2

-

E

2

-1=0且

1

2

D2+E2-12

=

2

，
解之得

D=2 E=-4

或

D=-4 E=2

结合圆心C在第二象限，得C的坐标为（-1，2），（舍去C（1，-2））
∴圆C的方程是（x+1）²+（y-2）²=2
（2）当直线l过原点时，设为y=kx，
可得

|-k-2|

1+k2

=

2

，解之得k=2±

6

，得直线l方程为y=（2±

6

）x，
当直线l不过原点时，设l：x+y-m=0
可得

|-1+2-m|

2

=

2

，解之得m=-1或3
此时直线l的方程为x+y+1=0或x+y-3=0
综上所述，与圆C相切且在x轴、y轴上的截距相等的直线l方程为y=（2±

6

）x或x+y+1=0或x+y-3=0．

点评：本题给出圆C满足的条件，求圆C方程并求与圆C相切的直线l方程，着重考查了圆的方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．