Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b_n}的第二项，第三项，第四项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对任意自然数n，均有

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn

bn

=an+1，求c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₀₆值．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的通项公式将第二项，第五项，第十四项用{a_n}的首项与公差表示，再据此三项成等比数列，列出方程，求出公差，利用等差数列及等比数列的通项公式求出数列{a_n}与{b_n}的通项公式．
（2）利用数列的第n项等于前n项和减去前n-1项的和求出

cn

bn

，进一步求出c_n，利用等比数列的前n项和公式求出从第二项开始到第n项的和再加上首项3．

解答：解：（1）由题意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²（d＞0）
解得d=2，
∴a_n=2n-1，b_n=3^n-1（5分）
（2）当n=1时，c₁=3；当n≥2时，

cn

bn

=an+1-an，
c_n=2•3^n-1，cn=

3(n=1) 2•3n-1(n≥2)

（10分）
∴c₁+c₂+…+c₂₀₀₆=3+2×3+2×3²+…+2×3²⁰⁰⁵=3²⁰⁰⁶（14分）

点评：求数列的前n项和，关键先求出数列的通项，判断出通项的特点，再选择合适的求和方法．