Question

设数列为等比数列，数列满足，，已知，，其中．
（Ⅰ）求数列的首项和公比；
（Ⅱ）当m=1时,求；
（Ⅲ）设为数列的前项和，若对于任意的正整数，都有，求实数的取值范围．

Answer 1

见解析

（1）根据及，将减少变量，
求得，故；
（2）当m=1时既是等比数列与等差数列组成的差比数列的前n项和，
错位相减法得之：
（Ⅲ）是数列为等比数列的和； 分类讨论
解（Ⅰ）由已知，所以；…………1分
，所以，解得；
所以数列的公比；…………3分（Ⅱ）当时，，…………1分
，………………………①，
，……………………②，
②－①得，………3分
所以，
．…………5分
（Ⅲ），…………1分
因为，所以由得，………2分
注意到，当n为奇数时，；当为偶数时，，
所以最大值为，最小值为．…………4分
对于任意的正整数n都有，
所以，解得