Question

已知数列{a_n}满足a₁=33，a_n+1-a_n=2n，则

an

n

的最小值为

21

2

．

Answer 1

分析：利用“累加求和”公式即可得出a_n，进而得出

an

n

，利用导数即可得出

an

n

的最小值．

解答：解：∵数列{a_n}满足a₁=33，a_n+1-a_n=2n，
∴当n≥2时，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2（n-1）+2（n-2）+…+2×2+2×1+33
=2×

(n-1)×(n-1+1)

2

+33
=n²-n+33，
上式对于n=1时也成立．
∴an=n2-n+33．
∴

an

n

=n+

33

n

-1．
令f(x)=x+

33

x

-1（x＞0）．
则f′(x)=1-

33

x2

=

x2-33

x2

．
由f′（x）＞0，解得x＞

33

；由f′（x）＜0，解得0＜x＜

33

．
∴函数f（x）在[

33

，+∞)上单调递增；在(0，

33

]上单调递减．
∵n∈N^*，∴当n=5或6时，f(n)=

an

n

取得最小值．
而f(6)=6+

33

6

-1=

21

2

，f(5)=5+

33

5

-1=

53

5

＞

21

2

，
∴则

an

n

的最小值为f（6）=

21

2

．
故答案为

21

2

．

点评：熟练掌握累加求和公式和利用导数研究函数的单调性是解题的关键．