Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）在区间[1，a]（a＞2）上单调递增，且f（x）＞0，则以下不等式不一定成立的是（　　）

• A．f(

  1-3a

  1+a

  )＞f(-2)
• B．f(

  1-3a

  1+a

  )＞f(-a)
• C．f(

  a+1

  2

  )＞f(

  a

  )
• D．f（a）＞f（0）

Answer 1

分析：利用奇函数性质，把两自变量的值转化到区间[1，a]上，然后运用函数f（x）在区间[1，a]（a＞2）上单调递增，逐项判断即可．

解答：解：因为f（x）为奇函数，所以f（

1-3a

1+a

）＞f（-a）等价于f（

3a-1

1+a

）＜f（a），
由a＞2，得

3a-1

1+a

=3-

4

1+a

＞3-

4

3

=

5

3

＞1，且

3a-1

1+a

-a=

-(a-1)2

1+a

＜0，即得1＜

3a-1

1+a

＜a，
又f（x）在区间[1，a]上单调递增，所以f（

3a-1

1+a

）＜f（a），即f（

1-3a

1+a

）＞f（-a）成立，排除B；
因为a＞2，所以1＜

a

＜

a+1

2

＜a，又f（x）在区间[1，a]上单调递增，所以f（

a+1

2

）＞f（

a

）成立，排除C；
因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0，又x∈[1，a]时，f（x）＞0，所以f（a）＞f（0）成立，排除D；
f（

1-3a

1+a

）＞f（-2）等价于f（

3a-1

1+a

）＜f（2），

3a-1

1+a

-2=

a-3

1+a

，因为a＞2，所以

a-3

1+a

符号不定，即

3a-1

1+a

与2大小关系不确定，
所以f（

1-3a

1+a

）＞f（-2）不一定成立．
故选A．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，考查分析问题解决问题的能力．