Question

（2012•上海二模）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁=2

2

，E，F分别是BC、AA₁的中点．
求：（1）异面直线EF和A₁B所成的角．
（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析：（1）方法一：取AB的中点D，连DE、DF，则DF∥A₁B，∠DFE（或其补角）即为所求由此能求出异面直线EF和A₁B所成的角的大小．
方法二：以A为坐标原点以AB、AC、AA₁所在直线分别x轴、y轴、Z轴建立直角坐标系，用向量法求异面直线EF和A₁B所成的角的大小．
（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=

1

2

AB•AC•AA1=

1

2

×2×2×2

2

=4

2

．

解答：解：（1）方法一：取AB的中点D，连DE、DF，则DF∥A₁B，
∴∠DFE（或其补角）即为所求．…（3分）

由题意易知，DF=

3

，DE=1，AE=

2

由DE⊥AB、DE⊥A A₁得DE⊥平面ABB₁A₁
∴DE⊥DF，即△EDF为直角三角形，…（3分）
∴tan∠DFE=

DE

DF

=

1

3

=

3

3

∴∠DFE=30°…（3分）
即异面直线EF和A₁B所成的角为30⁰．    …（1分）
方法二：


以A为坐标原点以AB、AC、AA₁所在直线分别x轴、y轴、
Z轴建立如图所示的直角坐标系，…（1分）
则A₁ （o，o，2

2

）  B （2，0，0）
∵E、F分别是BC、AA₁中点
∴E（1，1，0）F（0，0，

2

）          …（4分）
∴

BA

1=(-2，0，2

2

)，

EF

=(-1，-1，

2

)
设

BA1

与

EF

的夹角为θ
∴cosθ=

BA1 • EF

| BA1 |•| EF |

=

3

2

∵0≤θ≤π
∴θ=

π

6

…（4分）
∴异面直线EF和A₁B所成的角为

π

6

…（1分）
（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积
V=

1

2

AB•AC•AA1=

1

2

×2×2×2

2

=4

2

…（4分）

点评：本题考查两条异面直线所成角的大小的求法和直直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积的计算，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．