题目内容

设f（x）=+xlnx，g（x）=x3-x2-3．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率；
（2）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M．
【答案】分析：（1）当a=2时，f（x）=+xlnx，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率；
（2）存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立，利用导数求出函数g（x）的最大值和最小值，然后求出g（x）max-g（x）min，从而求出满足条件的最大整数M．
解答：解：（1）当a=2时，f（x）=+xlnx，+lnx+1，
∴f（1）=2，f′（1）=-1．
∴y=f（x）在x=1处的切线斜率为-1；
（2）存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立
g（x）=x3-x2-3，g′（x）=3x2-2x=3x（x-）
当x∈（0，）时，g′（x）＜0，当x∈（，2）时，g′（x）＞0，
∴g（x）min=g（）=-，g（x）max=g（2）=1
g（x）max-g（x）min=
∴满足条件的最大整数M=4
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题和利用导数求闭区间上函数的最值，同时考查了转化与化归的思想，属于中档题．
练习册系列答案
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15、设函数f（x），g（x）的定义域分别为DJ，DE．且DJ?DE，若对于任意x∈DJ，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在DE上的一个延拓函数．设f（x）=xlnx（x＞0），g（x）为f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数，则g（x）=
xln|x|
；设f（x）=2x-1（x≤0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则g（x）=
2-|x|-1
．
设函数f（x）=xln（ex+1）-
12
x2+3，x∈[-t，t]（t＞0），若函数f（x）的最大值是M，最小值是m，则M+m=
6
6
．
（2010•绵阳二模）已知函数f（x）=xln x（x＞0）．
（1）若b≥
1
e
，求证bbe≥
1
e
（e是自然对数的底数）；
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（3）若a＞0，b＞0证明：f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）

设数列{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）a2n+1-na2n+an+1an=0（n=1，2，3，…）。
（1）求{an}的通项公式；
（2）设f（x）=xln（1+），试判断f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（3）设bn=，证明：ln2≤bn＜ln3。