Question

一半径为4米的水轮如图，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P₀）开始计时．
（1）将点P距离水面的高度h（米）表示为时间t（秒）的函数；
（2）点P第一次到达最高点要多长时间？
（3）在点P每转动一圈过程中，有多少时间点P距水面的高度不小于2+2

3

米．

Answer 1

分析：（1）先根据h的最大和最小值求得A和B，利用周期求得ω，当x=0时，h=0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得；
（2）令最大值为6，即h=4sin(

2π

15

t-

π

6

)+2=6可求得时间；
（3）根据条件建立不等式h=4sin(

2π

15

t-

π

6

)+2≥2+2

3

，求出t的范围，从而求出时间．

解答：解：（1）依题意可知h的最大值为6，最小为-2，
∴有

A+B=6 -A+B=-2

，求得

A=4 B=2

，T=

60

4

=15，ω=

2π

15

，t=0时，h=0，
∴sinφ=-

1

2

，∴φ=-

π

6

，
∴函数的表达式为h=4sin(

2π

15

t-

π

6

)+2；
（2）h=4sin(

2π

15

t-

π

6

)+2=6，
即sin(

2π

15

t-

π

6

)=1，解得t=5s；
（3）h=4sin(

2π

15

t-

π

6

)+2≥2+2

3

，即sin(

2π

15

t-

π

6

)≥

3

2

，
解得

15

4

≤t≤5，即在点P每转动一圈过程中，
有

5

4

s点P距水面的高度不小于2+2

3

米．

点评：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题．考查了运用三角函数的最值，周期等问题确定函数的解析式．