Question

已知函数f(x)=cos(x-

π

4

)．
（Ⅰ）若f(α)=

7 2

10

，求sin2α的值；
（II）设g(x)=f(x)•f(x+

π

2

)，求函数g（x）在区间[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）∵f(α)=cos(α-

π

4

)=

7 2

10

，
∴

2

2

(cosα+sinα)=

7 2

10

，得 cosα+sinα=

7

5

．
两边平方得，sin²α+2sinαcosα+cos²α=

49

25

，
即1+sin2α=

49

25

，可得sin2α=

24

25

．…（6分）
（II）g(x)=f(x)•f(x+

π

2

)=cos(x-

π

4

)•cos(x+

π

4

)
=

2

2

(cosx+sinx)•

2

2

(cosx-sinx)
=

1

2

(cos2x-sin2x)=

1

2

cos2x．…（10分）
当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，2x∈[-

π

3

，

2π

3

]．
所以，当x=0时，g（x）的最大值为

1

2

；当x=

π

3

时，g（x）的最小值为-

1

4

．
即函数g（x）在区间[-

π

6

，

π

3

]上的最大值为g（0）=

1

2

，最小值为g（

π

3

）=-

1

4

．…（13分）