Question

（本小题满分14分）

设数列的首项R），且，

（Ⅰ）若；

（Ⅱ）若，证明：；

（Ⅲ）若，求所有的正整数，使得对于任意，均有成立.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）a₂=－a₁+4=－a+4，且a₂∈（3，4），a₃=a₂－3=－a+1，且a₃∈（0，1），

a₄=－a₃+4=a+3，且a₄∈（3，4）a₅=a₄－3="a" ；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）若0<a<1，则k=4m；，则k=2m；若a=2，则k="m." m∈N* 。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）解：因为

所以a₂=－a₁+4=－a+4，且a₂∈（3，4）

所以a₃=a₂－3=－a+1，且a₃∈（0，1）

所以a₄=－a₃+4=a+3，且a₄∈（3，4）

所以a₅=a₄－3=a       ……4分

（Ⅱ）证明：当

所以，        ……6分

②当

所以，

综上，     ……8分

（Ⅲ）解：①若

因此，当k=4m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立 …10分

②若

因此，当k=2m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立 …12分

③若，

因此k=m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立  ……13分

综上，若0<a<1，则k=4m；，则k=2m；

若a=2，则k="m." m∈N*         ……14分

考点：本题主要考查数列的递推公式、通项公式，分段函数的概念。

点评：中档题，等比数列、等差数列相关内容，已是高考必考内容，其难度飘忽不定，有时突出考查求和问题，如“分组求和法”、“裂项相消法”、“错位相减法”等，有时则突出涉及数列的证明题，如本题。本题解法中，注意通过研究满足的条件，发现数列特征，确定得到数列的项所满足的条件，具有一般性。