Question

写出下列函数的单调增区间：

(1)y＝3sin(2x－)；(2)y＝2cos(2x＋)；(3)y＝log_i[sin(2x＋)]．

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：应用正、余弦函数的单调性．(1)设z＝2x－，则y＝sinz在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上是增函数，即2x－∈[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)．由此可写出x的范围；(2)与(1)类似；(3)根据复合函数同增异减的原则进行求解． 　　解：(1)设z＝2x－，则y＝sinz在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上是增函数， 　　即2x－∈[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)． 　　由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)， 　　得－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)， 　　即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)． 　　所以，函数y＝3sin(2x－)的单调增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)． 　　(2)由－π＋2kπ≤2x＋≤2kπ(k∈Z)，得－＋2kπ≤2x≤－＋2kπ(k∈Z)， 　　即－＋kπ≤x≤－＋kπ(k∈Z)． 　　所以，函数y＝2cos(2x＋)的单调增区间为[－＋kπ，－＋kπ](k∈Z)． 　　(3)设u＝sin(2x＋)，由y＝log2u是增函数，可知y＝log2[sin(2x＋)]的增区间就是u＝sin(2x＋)(u＞0)的增区间． 　　由y＝sinx(y＞0)的图象，可知y＝sinx(y＞0)的增区间为(2kπ，2kπ＋](k∈Z)，因此，对于u＝sin(2x＋)(u＞0)有 　　2kπ＜2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，即－＋2kπ＜2x≤2kπ＋(k∈Z)． 　　所以－＋kπ＜x≤kπ＋(k∈Z)． 　　所以，函数y＝log2[sin(2x＋)]的单调增区间为(－＋kπ，kπ＋](k∈Z)． 　　方法归纳：本题的关键在于转化思想的应用，使用了整体换元法．函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质，因此，要求函数的单调区间，应首先求函数的定义域．此外，函数的单调区间应写成区间的形式．