Question

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

从数列中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列的一个子数列．

     设数列是一个首项为、公差为的无穷等差数列．

（1）若，，成等比数列，求其公比．

（2）若，从数列中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为的无穷等比子数列，请说明理由．

（3）若，从数列中取出第1项、第项（设）作为一个等比数列的第1项、第2项．求证：当为大于1的正整数时，该数列为的无穷等比子数列．

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】（1）解：由题设，得，即，得，又，于是，故其公比．（4分）

（2）解：设等比数列为，其公比，，（6分）

由题设．

假设数列为的无穷等比子数列，则对任意自然数，都存在，使，

即，得，（8分）

当时，，与假设矛盾，

故该数列不为的无穷等比子数列．（10分）

（3）即证明无穷等比数列中的每一项均为数列中的项．

在等比数列中，，（12分）[来源:]

在等差数列中，，，（14分）

若为数列中的第项，则由，得，

整理得，（16分）[来源:]

由，均为正整数，得也为正整数，

故无穷等比数列中的每一项均为数列中的项，得证．（18分）