Question

【题目】已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx与g（x）=log4（a2x﹣ a），其中f（x）是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）求函数g（x）的定义域；
（3）若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定义域为R，
∵f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函数，
∴f（﹣x）=f（x）恒成立，
即log4（4﹣x+1）﹣kx=log4（4x+1）+kx恒成立，
∴log4 =2kx，即log4 =2kx，
∴42kx=4﹣x ， ∴2k=﹣1，即k=﹣
（2）解：由g（x）有意义得a2x﹣ ＞0，即a（2x﹣ ）＞0，
当a＞0时，2x﹣＞ 0，即2x＞ ，∴x＞log2 ，
当a＜0时，2x﹣ ＜0，即2x＜ ，∴x＜log2 ．
综上，当a＞0时，g（x）的定义域为（log2 ，+∞），
当a＜0时，g（x）的定义域为（﹣∞，log2 ）
（3）解：令f（x）=g（x）得log4（4x+1）﹣ x=log4（a2x﹣ ），
∴log4 =log4（a2x﹣ ），即2x+ =a2x﹣ ，
令2x=t，则（1﹣a）t2+ at+1=0，，
∵f（x）与g（x）的图象只有一个交点，
∴f（x）=g（x）只有一解，∴关于t的方程（1﹣a）t2+ at+1=0只有一正数解，
①若a=1，则 +1=0，t=﹣ ，不符合题意；
②若a≠1，且 ﹣4（1﹣a）=0，即a= 或a=﹣3．
当a= 时，方程（1﹣a）t2+ at+1=0的解为t=﹣2，不符合题意；
当a=﹣3时，方程（1﹣a）t2+ at+1=0的解为t= ，符合题意；
③若方程（1﹣a）t2+ at+1=0有一正根，一负根，则 ＜0，∴a＞1，
综上，a的取值范围是{a|a＞1或a=﹣3}．
【解析】（1）令f（-x）=f（x）恒成立，根据对数的运算性质解出k，（2）令，对a进行讨论得出x的范围，（3）令f（x）=g（x），使用对数的运算性质化简，令2x=t，则关于t的方程只有一正数解，对a进行讨论得出a的范围.