Question

(本小题满分12分) 已知圆过椭圆的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点；直线与圆相切 ，与椭圆相交于两点记

   （1）求椭圆的方程；

   （2）求的取值范围；

   （3）求的面积S的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）

【解析】

试题分析：

（1）根据题意可知因为圆与椭圆有且只有两个公共点，那么联立方程组，则得到的方程仅有两个实根可得b的值，然后分析2c=2,得到c=1，从而得到椭圆方程。

（2）结合已知的条件，直线与圆相切 ，可知m与k点的关系式，而直线与椭圆相交于两点，那么联立直线方程与椭圆的方程组，结合韦达定理得到，从而化简得到其为，结合的范围得到结论。

（3）根据弦长公式，那么可知结论为，那么结合上一问的k的范围得到面积的范围。

解：（1）由题意知2c=2,c=1, 因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b=1.故a=

所求椭圆方程为         ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分

（2）因为直线l:y=kx+m与圆相切

所以原点O到直线l的距离＝1,即：m   ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分

又由　，（）　　

设A（），B（），则     ﹍﹍﹍﹍﹍﹍7分

＝，由，故， 即 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍9分    

（3）

＝，由，得：         ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍11分

，所以：　               ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍12分

考点：本试题主要是考查了圆与椭圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系，和直线与椭圆的相交弦长的公式的运用。

点评：解决该试题的关键是确定出参数b的值，以及结合已知中2c=2的值，得到椭圆的方程该试题的突破口。