题目内容
已知函数f(x)=x3-
x2+bx+c.
(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围;
(2)若f(x)在x=1处取得极值，且x∈［-1,2］时，f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围.
（1）b≥
（2）c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）.
解析:
（1）f′(x)=3x2-x+b,因f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则f′(x)≥0.即3x2-x+b≥0,
∴b≥x-3x2在（-∞，+∞）恒成立.设g(x)=x-3x2.
当x=
时，g(x)max=,∴b≥.
(2)由题意知f′（1）=0，即3-1+b=0，∴b=-2.
x∈［-1,2］时，f(x)＜c2恒成立，只需f(x)在［-1，2］上的最大值小于c2即可.
因f′(x)=3x2-x-2,令f′(x)=0,得x=1或x=-
.∵f(1)=-
+c,
f(
)=
+c,f(-1)=
+c,f(2)=2+c.
∴f(x)max=f(2)=2+c,∴2+c＜c2.解得c＞2或c＜-1，所以c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）.
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