Question

9．已知数列{a_n}，其中a₁=1，a_n+1=2ⁿa_n+4，求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过对a_n+1=2ⁿa_n+4两边同时除以${2}^{\frac{n（n+1）}{2}}$可知$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{\frac{n（n+1）}{2}}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}}$+$\frac{4}{{2}^{\frac{n（n+1）}{2}}}$，进而利用累加法计算可得结论．

解答 解：∵a_n+1=2ⁿa_n+4，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{\frac{n（n+1）}{2}}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}}$+$\frac{4}{{2}^{\frac{n（n+1）}{2}}}$，
对数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}}$}利用累加法计算可知，
$\frac{{a}_{n}}{{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}}$=$\frac{{a}_{1}}{{2}^{0}}$+4[$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}}$]
=1+4[$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}}$]，
∴a_n=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$•{1+4[$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{\frac{n（n-1）}{2}}}$]}．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．