Question

已知函数f(x)=-

1

3

x3+bx+cx+bc(b、c∈R，且b≠0），求曲线y=f（x）上斜率为c的切线与该曲线的公共点．

Answer 1

设曲线y=f（x）在x=x₀处的切线的斜率为c

∵f′(x)=-x2+2bx+c ∴- x 20 +2bx0+c=c

解得x₀=0或x₀=2b…（2分）
①当x₀=0，则f（0）=bc得切点为（0，bc），切线方程为y=cx+bc
若-

1

3

x3+bx2+cx+bc=cx+bc…（4分）

?x3-2bx2=0解得x1=x2=0， x3=3b则此时切线y=cx+bc

与曲线y=f（x）的公共点为（0，bc），（3b，4bc）…（6分）
②当x₀=2b，则f（2b）=

4

3

b3+2bc，
得切点为(2b，

4

3

b3+2bc)，切线方程为y=cx+bc+

4

3

b3
若-

1

3

x3+bx2+cx+bc=cx+bc+

4

3

b3…（8分）

?x3-2bx2+4b3=0解得x1=x2=2b， x3=-b，则此时y=cx+bc+ 4 3 b3与曲线

y=f(x)的公共点为(2b，

4

3

b3+3bc)，(-b，

4

3

b3)…（11分）
综合上述，当b≠0时，斜率为c的切线与曲线y=f（x）有两个不同的公共点，
分别为(0，bc)和(3b，4bc)，或(2b，

4

3

b3+2bc)和(-b，

4

3

b3)…（12分）