Question

（2013•金山区一模）已知函数f（x）=

x2-2x+a

x

，x∈（0，2]，其中常数a＞0．
（1）当a=4时，证明函数f（x）在（0，2]上是减函数；
（2）求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）定义法：任取0＜x₁＜x₂≤2，通过作差证明f（x₁）＜f（x₂）即可；
（2）由基本不等式得，f(x)=x+

a

x

-2≥2

a

-2，当且仅当x=

a

时等号成立，分0＜

a

≤2，

a

＞2两种情况进行讨论即可；

解答：解：（1）当a=4时，f(x)=x+

4

x

-2，
任取0＜x₁＜x₂≤2，
则f（x₁）-f（x₂）=x1+

4

x1

-x2-

4

x2

=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，
因为0＜x₁＜x₂≤2，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函数f（x）在（0，2]上是减函数；
（2）f(x)=x+

a

x

-2≥2

a

-2，当且仅当x=

a

时等号成立，
当0＜

a

≤2，即0＜a≤4时，f（x）的最小值为2

a

-2；
当

a

＞2，即a＞4时，f（x）在（0，2]上单调递减，
所以当x=2时，f（x）取得最小值为

a

2

，
综上所述：f(x)min=

2 a -2，0＜a≤4 a 2 ，a＞4

．

点评：本题考查函数单调性的判断、函数在闭区间上的最值，考查基本不等式的应用，考查分类讨论思想．