题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，
底面
，底面是直角梯形，
，
，
是
上的一点.
（Ⅰ）求证：平面
平面
；
（Ⅱ）如图（1），若
，求证：
平面
；
（Ⅲ）如图（2），若是的中点，
,求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】试题分析：（Ⅰ）要证面面垂直，只要证线面垂直，在直角梯形
，由
，
平面
，从而证得；
（Ⅱ）连
交
于点
，连
，易证得
.
（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，
就是二面角
的平面角.由余弦定理即可求得.
试题解析：
（Ⅰ）证明：∵
底面，
∴
.
∵
，
,
∴
.
∴
.
∴
，即.
又
平面
，
∴平面
平面.
（Ⅱ）证明：连交于点，连，
∵
，
∴
.
∵
，
∴
.
∴.
又
平面，
平面，
∴
平面.
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知平面，
∴就是二面角的平面角.
∵
,
∴
.
∵
是
的中点，
∴
.
∴
.
∴二面角的余弦值为.
【题目】某公司购买了A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩.为了解三种品牌口罩的电池性能，现采用分层抽样的方法，从三种品牌的口罩中抽出25台，测试它们一次完全充电后的连续待机时长，统计结果如下（单位：小时）：
A | 4 | 4 | 4.5 | 5 | 5.5 | 6 | 6 | |||
B | 4.5 | 5 | 6 | 6.5 | 6.5 | 7 | 7 | 7.5 | ||
C | 5 | 5 | 5.5 | 6 | 6 | 7 | 7 | 7.5 | 8 | 8 |
（Ⅰ）已知该公司购买的C品牌电动智能送风口罩比B品牌多200台，求该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量；
（Ⅱ）从A品牌和B品牌抽出的电动智能送风口罩中，各随机选取一台，求A品牌待机时长高于B品牌的概率；
（Ⅲ）再从A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩中各随机抽取一台，它们的待机时长分别是a，b，c（单位：小时）.这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为
，表格中数据的平均数记为
.若
，写出a+b+c的最小值（结论不要求证明）.
【题目】某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．
整理评分数据，将分数以
为组距分成
组：
，
，
，
，
，
，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表：
B餐厅分数频数分布表 | |
分数区间 | 频数 |
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（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A餐厅评分低于30的人数；
（Ⅱ）从对B餐厅评分在
范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在范围内的概率；
（Ⅲ）如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．
