Question

【题目】下列命题：

①若，则；

②已知，，且与的夹角为锐角，则实数 的取值范围是；

③已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的重心；

④在中，，边长分别为，则只有一解；

⑤如果△ABC内接于半径为的圆，且

则△ABC的面积的最大值；

其中正确的序号为_______________________。

Answer 1

【答案】①③⑤

【解析】① 若,则 代入上式得到，故正确；

②已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是且，故选项不正确；

③已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，记BC中点为E，则，则2，AE直线过重心，故P一定过重心；

④根据正弦定理得，asinC=csinA，∴sinC=，故不成立.

∵2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，∴根据正弦定理，得a2﹣c2=（a﹣b）b=ab﹣b2，

可得a2+b2﹣c2=ab

∴cosC=，

∵角C为三角形的内角，∴角C的大小为

∵c=2Rsin=R

∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得

2R2=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=（2﹣）ab，当且仅当a=b时等号成立

∴ab≤

∴S△ABC=absinC≤ R2=

即△ABC面积的最大值为；故⑤正确，

故答案为：①③⑤