Question

设函数f(x)＝ax³－2bx²＋cx＋4d(a，b，c，d∈R)的图象关于原点对称，且x＝1时，f(x)取极小值．

(Ⅰ)求a，b，c，d的值

(Ⅱ)当x∈[－1，1]时，f(x)图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论

(Ⅲ)若x₁，x₂∈[－1，1]时，求证|f(x₁)－f(x₂)|．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：∵函数的图象关于原点对称 　　∴为奇函数， 　　∴ 　　即恒成立 　　∴b＝0，d＝0 　　∵x＝1时，f(x)取极小值－， 　　∴(1)＝0，f(1)＝－ 　　∴3a＋c＝0，a＋c＝－∴a＝，c＝－1 　　∴a＝，b＝0，c＝－1，d＝0　4分 　　(2)解：由(1)有 　　当x∈[－1，1]时，－1≤x2－1≤0，因而对x1，x2∈[－1，1]时， 　　(x1)(x2)≥0 　　∴当x∈[－1，1]时，f(x)图象上不存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直　8分 　　(3)解：由(2)有函数f(x)在[－1，1]上是减函数 　　　12分