Question

已知函数在定义域（-∞，4]上为减函数，且f(m-sinx)≤f(

1+2m

-

7

4

+cos2x)对于任意的x∈R成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：根据函数的单调性，将原不等式成立，转化为“

m -sinx≤4 1+2m - 7 4 +cos2x≤4 m-sinx≥ 1+2m - 7 4 +cos 2x

成立”，然后转化为“

m≤4+sinx 1+2m ≤ 23 4 -co s2x m- 1+2m ≥-(sinx-  1 2 )2- 1 2

”利用最值法求解．

解答：解：由题意可得

m -sinx≤4 1+2m - 7 4 +cos2x≤4 m-sinx≥ 1+2m - 7 4 +cos 2x

成恒成立
即

m≤4+sinx 1+2m ≤ 23 4 -cos2x m- 1+2m ≥-(sinx- 1 2 )2- 1 2

对x∈R恒成立．
故

m≤3 m≤ 345 16 或m=- 1 2 m≥ 3 2

或m=-

1

2

．
∴

3

2

≤m≤3或m=-

1

2

．

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，一般是利用函数的单调性，转化为最值问题解决，属于中档题．